APLICAÇOES MODULAR

logaritmos

GRAFICO DE MODULO

MODULO

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EXPONENCIAL

APLICAÇOES EXPONENCIAIS

LOGARITIMOS

APLICACOES LOGARITIMICA

EQUAÇAO MODULAR

Equação é uma expressão algébrica com uma ou mais incógnitas que possui uma igualdade, então, podemos dizer que uma equação modular possui essas mesmas características, sendo que a incógnita dessa equação terá que estar dentro de um módulo. 

Veja alguns exemplos de equações que são modulares: 

|x + 2| = 5 

|x| - 5 = 8 

- |2x| = 9 

3 . |x|² – 8 . |x| + 5 = 0 

|x² – 6x + 16| = 32 

Para resolver uma equação modular deve-se seguir a definição de módulo de um número real: 

|x| = x, se x ≥ 0 
-x, se x < 0 
Para compreender como aplicar essa definição em uma equação modular acompanhe o raciocínio dos exemplos abaixo: 

• |x| = 7 
Para descobrir o valor de x devemos pensar da seguinte forma: um número real terá sempre um valor positivo como resultado do seu módulo, e 7 é positivo, mas o valor de x poderá ser +7 ou -7, pois |+7| = 7 e |-7| = 7, portanto, x = 7 ou x = -7 

• |x| = 0 
Como zero tem valor nulo (não possui sinal) dizemos que o único valor que x poderá assumir será 0, portanto, x = 0. 

• |x| = -8 
Como um número real terá sempre um valor positivo ou nulo e -8 é negativo não irá existir valor real para x, portanto, a solução dessa equação será vazia. 

Quando dentro do módulo estiver uma operação com a incógnita, devemos calcular o módulo invertendo o sinal do 1º ou do 2º membro da igualdade. 

• |x + 2| = 4 
x + 2 = 4                ou     x + 2 = - 4 
x = 4 – 2                          x = - 4 - 2 
x = 2                                 x = - 6 

• |x + 6| = x + 6 
x + 6 = x + 6              ou         x + 6 = - (x + 6) 
x – x = 6 – 6                           x + 6 = - x – 6 
0 = 0                                       x + x = - 6 – 6 
                                                2x = - 12  
                                                x = -6 
S = {x R | x ≥ -6} 

• |x – 3| + 4x = 7 
|x – 3| = 7 – 4x 

x – 3 = 7 – 4x                   ou                  x – 3 = - (7 – 4x) 
x + 4x = 7 + 3                                         x – 3 = -7 + 4x 
5x = 10                                                   x – 4x = -7 + 3 
x = 2                                                       -3x = -4 
x = 4 / 3 

• |2x - 2| = |5 - x| 
2x -2 = 5 - x                              ou           2x – 2 = - (5 – x) 
2x + x = 5 + 2                                          2x – 2 = -5 + x 
3x = 7                                                       2x – x = - 5 + 2 
x = 7 / 3                                                     x = - 3

FUNÇAO MODULAR

MÓDULO

Para entender função modular - tema que cai nos vestibulares e no Enem - devemos compreender o que é módulo. Em seguida, através de exercícios, resolveremos algumas equações modulares e falaremos sobre a função modular: o que muda ao inserirmos um módulo à função?

Módulo

Antes de falar da função modular, vamos relembrar a definição e como calcular o módulo de um número. O módulo é a distância de um determinado número até o zero. Por exemplo, o módulo de 13 é a distância entre o 13 e o 0. Para nos deslocarmos do 13 ao 0, andaremos 13 unidades. Portanto, o módulo de 13 é igual a 13. Ou ainda: |13| = 13. Sendo assim, qual será o módulo de -13? Bem, a distância do -13 ao zero é também de 13 unidades. Então, |-13| = 13. 

Vejamos alguns outros exemplos:

|-4| = 4
|690| = 690
|23,41| = 23,41
|-log2| = log2
|78| = 78
|-π| = π

Você já deve perceber que existe uma certa regra para calcularmos: todos os números que são positivos, continuam positivos; e todos da forma negativa, tornam-se positivos. Ou seja:

|x| = x, se x for positivo.
|-x|, se x for negativo ou usando a linguagem matemática: 

|x| = x, se x>0
|x| = -x, se x<0

EXEMPLOS

Resolva a equação |x² - 6x| = 9.

Para que o módulo dê resultado 9, é porque o valor dentro do módulo é igual a 9 ou -9. Assim, 

x² - 6x = 9 ou x² - 6x = -9

Resolvendo cada uma das equações:

x² - 6x - 9 = 0
x = −(−6)±(−6)2−4(1)(−9)√2(1)
x = 6±36+36√2
x = 6±72√2
x = 6±62√2
x = 3±32√

ou

x² - 6x + 9 = 0
(x-3)² = 0
x = 3

Portanto, nossa resposta é: S = {3±32√, 3}.

---

Vamos esboçar o gráfico da função f(x) = |2x + 6|:

Sabemos que:

→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x + 6 > 0
→ |2x + 6| = -(2x + 6), se 2x + 6 < 0

Então: 

→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x > -6
→ |2x + 6| = -2x - 6, se 2x < -6

E por fim,

→ |2x + 6| = 2x + 6, se x > 3 (gráfico I)
→ |2x + 6| = -2x - 6, se x < -3 (gráfico II)

Gráfico I (Foto: Colégio Qi)

Gráfico II (Foto: Colégio Qi)

Com isso, o gráfico da função f(x) ficará da seguinte forma:

(Foto: Colégio Qi)

Comparação entre o gráfico de f e a função 2x + 6:

(Foto: Colégio Qi)

Repare que ao colocarmos o módulo na função 2x + 6, a parte negativa (x < -3) transformou-se em positiva. É essa a principal mudança quando inserimos o módulo na função: toda a parte negativa torna-se positiva.

---

Vamos esboçar o gráfico de g(x) = | x² - 5x + 4|:

De início, o esboço do gráfico sem o módulo: h(x) = x² - 5x + 4:

(Foto: Colégio Qi)

Como já vimos, ao inserir o módulo a parte negativa ficará positiva, então o gráfico de f(x) será:

(Foto: Colégio Qi)

EXERCÍCIOS

(UFJF) O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x² é:

a) 0  
b) 1  
c) 2  
d) 3  
e) 4

Solução:

Temos então que 5x-6 = x² ou 5x-6 = -x². Assim, temos que resolver cada uma dessas equações:

5x – 6 = x²
x² - 5x + 6 = 0
S = -5 , P = 6
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 ou x = 3

5x – 6 = -x²
x² + 5x – 6 = 0
S = 5, P = -6
(x+6)(x-1) = 0
x = -6 ou x = 1

Assim, teremos uma solução negativa: -6.
Resposta: letra B.

---

(UTP) As raízes reais da equação |xl² + |x| - 6 = 0 são tais que:

a) a soma delas é – 1.
b) o produto delas é – 6.
c) ambas são positivas.
d) o produto delas é – 4.
e) n.d.a.

Aqui, usamos um recurso muito comum na Matemática, chame |x| de y. Então a equação ficará   y² + y – 6 = 0. Resolvendo-a:

y² + y – 6 = 0
S = 1, P = -6
(y+3)(y-2) = 0
y = -3 ou y = 2

Assim, |x| = -3 ou |x| = 2. Como não existe módulo negativo, |x| = 2. Então, x = -2 ou x = 2. Portanto, seu produto (2 multiplicado por -2) é igual a 4.
Resposta: letra D.

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(UFCE) Sendo f(x) = |x²-2x|, o gráfico que melhor representa f é:

a)

b)

c)

d)

Solução

Repare que a função, sem o módulo, é do segundo grau. Portanto, as letras c e d não podem ser. A diferença entre as alternativas a e b são as raízes, com isso, basta calcularmos:

|x²-2x| = 0
x² - 2x = 0
x (x-2) = 0
x = 0 ou x = 2

Assim, o único gráfico possível é o a. Resposta letra A.