INEQUAÇAO

Para resolver o problema proposto no início da seção anterior é preciso resolver a inequação 57,55 | h - 15,64 | < 10. O exemplo abaixo mostra como resolver este tipo de desigualdade analiticamente e, também, como é possível usar gráficos para visualizar suas soluções.

Exemplo 1

Resolva | 3 x - 4 | < 5.

Solução Algébrica

Para resolver a inequação dada, você deve observar que a desigualdade | 3 x - 4 | < 5 é equivalente a - 5 < 3 x - 4 < 5.

Esta equivalência se torna evidente, quando interpretamos o valor absoluto de um número como a distância deste número à origem. Dessa maneira, temos que a distância de um número x à origem é menor do que a se e somente se xestá entre a e - a , isto é  Û - a < x < a Veja a figura ao lado.

Assim, temos que

- 5 < 3 x - 4 < 5 Û - 1 < 3 x < 9 Û  < 3.

Portanto, a solução da inequação é o intervalo aberto (  ), isto é, todos os valores de x entre  e 3 satisfazem a desigualdade dada.

Solução Gráfica

Para resolver a inequação | 3 x - 4 | < 5 graficamente, começamos traçando o gráfico da função y = | 3 x - 4 | - 5. Este gráfico é mostrado ao lado.

Resolver uma desigualdade, f(x) < 0, equivale a encontrar todos os valores de x para os quais o gráfico da função está abaixo do eixox. Para achar estes valores imagine-se caminhando na direção positiva, sobre o eixo x. Enquanto caminha, vá olhando para baixo (f(x) < 0, quando o seu gráfico está abaixo do eixo x). No nosso exemplo, você verá o gráfico a partir do ponto x = - 1/3, onde o mesmo corta o eixo x, e permanecerá visível para qualquer posição que você se encontre entre os pontos x = - 1/3 e x = 3. Assim, a desigualdade será verdadeira para valores de x entre - 1/3 e 3.

Repare que para resolver uma inequação f(x) < 0, graficamente, é preciso antes de mais nada, encontrar os pontos onde o gráfico da função f intercepta o eixo x. Isto corresponde a encontrar as raízes da equação f(x) = 0. Logo, para resolver uma inequação graficamente você deve primeiro, resolver a equação corrrespondente.